Generazione di griglie strutturate su superfici

Información Tecnológica-Vol. 17 N°3-2006, p.: 107-116

Ingegneria meccanica

Generazione di griglie strutturate su superfici

João M. Baltazar e Luís R. Eça
MARETEC, Instituto Superior Técnico, Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Avenida Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisbona-Portogallo (e-mail: [email protected])

Abstract

In questo articolo si descrive una tecnica per generare griglie strutturate su superfici, che fornisce due importanti proprietà: l’uso di un dominio parametrico indipendente dal modo in cui la superficie è definita e la possibilità di selezionare il dominio di calcolo arbitrariamente senza dover rispettare i confini della definizione geometrica della superficie. Queste proprietà sono ottenute introducendo un’ulteriore trasformazione di coordinate che mette in relazione le variabili dipendenti del processo di generazione della mesh con le variabili indipendenti della definizione geometrica. Alcuni esempi di applicazione sono presentati per problemi di idrodinamica navale con diverse descrizioni geometriche: un’ala ellittica in pianta, un’elica marina convenzionale e uno scafo di nave. Il metodo proposto può anche essere usato con tecniche di generazione di mesh più sofisticate senza alcuna alterazione.

Parole chiave: generazione di mesh, griglie strutturate, idrodinamica navale, calcolo

Abstract

Questo articolo descrive una tecnica per la generazione di griglie strutturate su superfici. La procedura proposta ha due proprietà principali: il dominio parametrico è indipendente dalla definizione della superficie e i confini del dominio di calcolo possono essere scelti arbitrariamente, senza considerare alcun limite alla definizione della geometria della superficie. Queste proprietà sono ottenute con l’introduzione di una trasformazione di coordinate extra che mette in relazione le variabili dipendenti del processo di generazione della griglia con le variabili indipendenti della definizione della geometria. Sono presentati esempi di problemi idrodinamici navali con diverse descrizioni geometriche: un’ala ellittica, un’elica marina convenzionale e uno scafo di nave. Il metodo proposto può anche essere usato insieme a tecniche per la generazione di griglie più sofisticate senza alterazioni.

Parole chiave: generazione di griglie, griglie strutturate, idrodinamica navale, tecniche computazionali

INTRODUCCION

A prescindere dal fatto che attualmente esiste una grande proliferazione dell’uso di griglie non strutturate, esistono ancora applicazioni di Mecánica de Fluidos Computacionales nelle quali si raccomanda l’uso di griglie strutturate (Shaw, 1999).

La generazione di mallas estructuradas in superficie con geometria arbitraria è in un modo generale un problema completo, (Khamayseh y Kuprat, 1999). Nonostante sia necessario definire tre coordinate (x,y,z) per ogni punto della malla, solo due sono indipendenti, essendo la terza determinata dalla definizione della superficie.

In generale, si utilizzano due coordinate parametriche per definire una superficie. Così, diventa interessante usare le coordinate parametriche come variabili dipendenti nel processo di generazione della mesh, (Khamayseh e Kuprat, 1999). Tuttavia, può essere difficile definire un dominio di calcolo arbitrariamente dalle coordinate parametriche utilizzate nella definizione della superficie. In questo lavoro, presentiamo una tecnica per la generazione di mesh di superfici strutturate, (Eça, 2003), che introduce una trasformazione di coordinate addizionale per ottenere una definizione parametrica del dominio da discretizzare indipendentemente dal modo in cui la superficie è definita. Nel metodo sviluppato (Eça, 2003), la generazione della maglia strutturata di superficie include tre trasformazioni di coordinate: (i) la relazione tra le coordinate cartesiane della superficie, (x,y,z), e il dominio parametrico (s1,s2). Questa trasformazione corrisponde alla definizione della superficie. (ii) La relazione tra il dominio parametrico (s1,s2) e il nuovo dominio parametrico (I,J), che obbedisce sempre alle stesse proprietà indipendentemente dalla forma del dominio da discretizzare e dalla definizione della geometria. (iii) La trasformazione tra il dominio parametrico (I,J) e il dominio computazionale (x,h). Questa trasformazione è equivalente a un processo di generazione di mesh bidimensionale.

Come illustreremo negli esempi di applicazione, l’introduzione della seconda trasformazione di coordinate aumenta significativamente la flessibilità e la robustezza delle tecniche di generazione di mesh comunemente utilizzate per la generazione di mesh strutturate in superficie. Anche se possono essere usati metodi di generazione di mesh basati su sistemi di equazioni alle derivate parziali (Eça 1999), in questo articolo presentiamo solo esempi in cui la terza trasformazione di coordinate è una semplice interpolazione transfinita, poiché l’enfasi è sulla seconda trasformazione di coordinate.

L’articolo è organizzato come segue: nella prossima sezione sono descritte le tre trasformazioni di coordinate. Poi, vengono presentati alcuni esempi di applicazione tra cui: un’ala ellittica planare, un’elica convenzionale e uno scafo di nave. Infine, vengono presentate le conclusioni principali di questo lavoro.

Generazione di mesh di superficie

Il presente metodo di generazione di mesh di superficie include tre trasformazioni di coordinate che sono descritte nelle sezioni seguenti.

Definizione della geometria

In generale, la definizione di una superficie di forma arbitraria viene eseguita a partire dalle relazioni tra le coordinate cartesiane (x,y,z) e due coordinate parametriche (s1,s2):

,

(1)

in cui e . In molti casi si usa un dominio parametrico normalizzato con e . Tuttavia, i limiti di variazione di s1 e s2 sono arbitrari.

Tre tipi di definizione geometrica sono considerati in questo articolo: (i) le equazioni (1) sono definite da espressioni analitiche; (ii) interpolazione con spline cubiche bidimensionali da una maglia finita di punti discreti sulla superficie; (iii) interpolazione con B-spline, NURBS, (Farin, 1990), dove la geometria può includere diverse parti con coordinate parametriche locali.

Superficie definita analiticamente

Per illustrare una superficie definita analiticamente selezioniamo uno degli esempi di applicazione che presenteremo nella prossima sezione: un’ala ellittica planare con campata 2×S, corda alla radice CO e un profilo alare simmetrico. La forma in pianta dell’ala è data da

.

(2)

L’accordo, c, è una funzione della coordinata y secondo la direzione dell’apertura alare,

.

(3)

L’asse x è allineato alla corda dell’ala con la direzione positiva nella direzione del bordo di uscita e l’asse z completa il sistema di assi in modo da ottenere un sistema diretto.

Introdurre le coordinate parametriche (u,v), definito da

(4)

in cui e , e considerando la distribuzione adimensionale dello spessore lungo la corda, f(u), abbiamo

.

(5)

dove gli indici e e i si riferiscono all’estradosso e all’intradosso dell’ala, rispettivamente. Così possiamo scrivere le relazioni tra le coordinate cartesiane (x,y,z) e le coordinate parametriche (u,v)

.

(6)

Le coordinate parametriche (u,v) non sono la scelta ideale per generare una mesh per la superficie dell’ala perché ci sono due valori di z per ogni coppia (u,v) come si può vedere nelle equazioni (6). Per questo esempio in cui il profilo è simmetrico questo passo non è necessario. Tuttavia, se il profilo alare non è simmetrico, questa trasformazione è essenziale per generare la mesh. Una semplice trasformazione lineare graduale permette di generare mesh che includono l’estradosso e l’intradosso dell’ala

.

(7)

Sostituendo (u,v) per (s1,s2) in (6) otteniamo una definizione analitica della superficie con un dominio parametrico normalizzato, dove e .

Definizione della superficie mediante spline cubiche

Ci sono molti casi pratici in cui la geometria è definita attraverso un insieme di sezioni in cui una delle coordinate è costante. Così, la superficie è rappresentata da un insieme finito di punti NTX×NTY definiti lungo due famiglie di linee parametriche (i,j) dove le coordinate (x,y,z) sono note.

In questi casi, un’interpolazione cubica bidimensionale spline può essere usata per interpolare i valori di (x,y,z) per qualsiasi punto sulla superficie. Un modo semplice per fare questa interpolazione è usare gli indici (i,j) come variabili indipendenti, (Pina, 1995). Tuttavia, la distribuzione dei punti disponibili nella definizione geometrica non è sempre regolare. Pertanto, diventa più utile introdurre due variabili parametriche, (s1,s2), che rappresentano
la distanza tra i nodi che definiscono la superficie lungo due confini del dominio. Calcolo delle distanze

(8)

dove , e normalizzando per la distanza totale

(9)

Le coordinate parametriche sono ottenute.

Le linee che determinano s1 e s2 devono essere scelte dall’utente, ma la loro posizione è arbitraria. Nell’equazione (8), le distanze e sono calcolate lungo le linee e , rispettivamente.

Utilizzando f per rappresentare una qualsiasi delle coordinate cartesiane, x, y o z, l’interpolazione tramite spline cubiche bidimensionali è data da:

(10)

dove:

(11)

e, f1, f2, f3 e f4 sono i polinomi di Hermite:

(12)

Le derivate delle coordinate (x,y,z) per s1 e s2 nei punti NTX×NTY che definiscono la geometria sono determinati dalla condizione di continuità della derivata seconda lungo le due famiglie di linee i=const. o j=const. Ai confini del dominio, la derivata seconda di (x,y,z) nell’ordine s1 e s2 è assunta come zero. Queste condizioni corrispondono a sistemi di equazioni tridiagonali NTX+NTY che sono facilmente risolvibili con l’algoritmo di Thomas, (Pina, 1995).

Definizione della superficie tramite B-Splines

Nella rappresentazione B-spline, NURBS, (Farin, 1990), la superficie può essere rappresentata da diverse parti indipendenti dove vengono usate coordinate parametriche locali. Questo tipo di descrizione della superficie richiede la definizione di una matrice di connettività che permette la costruzione di uno spazio parametrico (s1,s2) contenente tutte le parti necessarie del dominio da discretizzare. La relazione tra le coordinate parametriche locali delle B-spline e (s1,s2) richiede un’ulteriore trasformazione di coordinate, (Eça, 2003).

Sulle superfici complesse, la matrice di connettività può essere estremamente difficile da definire. Tuttavia, in questo lavoro adottiamo una connettività semplice in cui tutte le parti della superficie sono assunte essere sequenzialmente unite in una direzione, (Eça, 2003).

I dettagli della determinazione di (x,y,z) da (s1,s2) sono descritti in (Eça, 2003).

Trasformazione di coordinate supplementare

L’obiettivo di questa trasformazione di coordinate è di ottenere un dominio parametrico regolare, (I,J), per qualsiasi topologia della regione da discretizzare e che sia indipendente dal modo in cui la superficie è definita. La definizione di questo dominio parametrico da discretizzare obbedisce alle seguenti regole: (i) i confini della regione da discretizzare corrispondono alle linee I=1, J=1, I=NT e J=NT, dove NT rappresenta il numero di punti in ogni direzione nella definizione del dominio parametrico, (I,J). Il valore di NT è arbitrario. (ii) La maglia rettangolare definita dalle linee I=const. e J=const., dove I e J sono interi, deve rappresentare approssimativamente una maglia equidistante nel piano fisico.

La scelta di (I,J) per le variabili dipendenti nel processo di generazione della maglia comporta la conoscenza della relazione tra (s1,s2) e (I,J), in modo che le coordinate (x,y,z) possano essere determinate da una coppia (I,J). Questa trasformazione di coordinate ha (I,J) come variabili indipendenti, e (s1,s2) come variabili dipendenti.

Nel presente metodo questa trasformazione di coordinate è definita da interpolazioni bilineari definite da elementi. Per una maglia di punti NT×NT, dove I e J corrispondono semplicemente a numeri interi tra 1 e NT, le coordinate s1 e s2 sono determinate con la seguente procedura:

(i) I quattro vertici della geometria da discretizzare definiscono i valori di s1 e s2 ai quattro vertici del dominio parametrico (I,J). Questa definizione avviene attraverso le variabili di ingresso.

(ii) Lungo ognuno dei quattro confini del dominio, dove I=const. o J=const, i valori s1 e s2 sono definiti equidistanti tra due vertici.

(iii) L’approssimazione iniziale di s1 e s2 nei punti interni si ottiene per interpolazione transfinita:

(13)

(13)

.

con

.

(14)

Questa distribuzione di (s1,s2) non garantisce che le due famiglie di linee I=const. e J=const. sono approssimativamente equidistanti nel piano fisico.

(iv) Una serie di sweep del dominio parametrico (I,J) viene eseguita per regolarizzare la distribuzione dei punti lungo le linee I=const. e J=const. Per esempio, per le linee I=const. queste scansioni da I=1 a I=NT includono i seguenti passi: (a) determinazione delle spline cubiche unidimensionali che rappresentano s1 e s2 in funzione di J. (b) ricalcolo dei valori di s1 e s2 per ottenere una distribuzione di punti equidistanti nel piano fisico.

Con la maglia di punti NT×NT nota, s1 e s2 possono essere ottenuti da (I,J) via

(15)

Dove:

.

(16)

I valori di i, j, x e h sono facilmente determinati dalle coordinate parametriche (I,J),

.

(17)

Come l’interpolazione bilineare (15) è applicata elemento per elemento, un alto valore per NT dovrebbe essere usato in modo da ottenere una buona definizione della trasformazione delle coordinate.

Metodo di interpolazione algebrica

La terza trasformazione di coordinate corrisponde alla generazione di una mesh bidimensionale tra le coordinate (I,J) e un dominio di calcolo rettangolare (x,h). Ci sono diversi tipi di metodi che possono essere utilizzati. Tuttavia, in questo lavoro adottiamo un semplice metodo algebrico basato sull’interpolazione transfinita, al fine di migliorare la scorrevolezza delle maglie ottenute con la trasformazione aggiuntiva delle coordinate tra i due domini parametrici: (s1,s2) e (I,J).

Questo processo di generazione della mesh si basa sulla specificazione delle coordinate (I,J) lungo i quattro confini della regione da discretizzare. Le coordinate nei punti interni della maglia si ottengono usando l’equazione (13) in I e J. Così, è possibile selezionare la distribuzione prevista dei punti ai confini del dominio fisico. Con la presente tecnica di generazione di mesh di superficie, la mesh ottenuta per interpolazione transfinita dovrebbe riprodurre al suo interno la spaziatura tra i punti definiti ai confini.

ESEMPI DI APPLICAZIONE

Per illustrare le possibilità della tecnica di generazione di mesh presentata, selezioniamo tre geometrie con diverse descrizioni geometriche: (i) la superficie di un’ala ellittica in pianta, rappresentata da una descrizione analitica; (ii) la superficie di una pala d’elica marittima convenzionale, con una descrizione mediante spline cubiche bidimensionali; (iii) la superficie di uno scafo di nave, con una descrizione della superficie mediante B-spline costituita da quattro parti.

L’ala ellittica planare

Il primo esempio di applicazione è un’ala ellittica planare con una sezione simmetrica corrispondente a un profilo alare NACA 0010. La descrizione della superficie è data dalle equazioni (6) e (7) e dalla distribuzione dello spessore di un profilo alare NACA a 4 cifre, (Abbott e Doenhoff, 1959).

Figura 1 presenta una mesh di 65×17 nodi ottenuta per metà ala usando le linee s1 e s2 uguali a costanti. Questa maglia include l’estradosso e l’intradosso dell’ala. I valori di s1 e s2 sono stati scelti in modo da ottenere una distribuzione approssimativamente di tipo coseno nella direzione della corda sia per la parte superiore che per quella inferiore, e una distribuzione di tipo semicoseno nella direzione della campata. La principale difficoltà di questa geometria è la presenza di una singolarità sulla punta dell’ala, che causa deviazioni localmente grandi dall’ortogonalità in questo tipo di mesh. Nell’esempio presentato in figura 1, la deviazione massima dall’ortogonalità è di 76,9 gradi e la deviazione media è di 17,8 gradi.

Le capacità del metodo proposto in questo lavoro sono illustrate per una mesh di 65×17 nodi dove la singolarità è stata spostata nella posizione delle coordinate y/S=0,95 sul bordo d’uscita dell’ala. La mesh ottenuta è presentata in Figura 2. È stato utilizzato lo stesso tipo di distribuzione dei nodi ai confini del dominio, con una distribuzione a coseno approssimato lungo la corda alla radice dell’ala e una distribuzione a mezzo coseno lungo il bordo di uscita e il bordo di entrata dell’ala. In questo caso, la maglia ottenuta per interpolazione transfinita presenta una deviazione massima dall’ortogonalità di 19,4 gradi e una deviazione media di 4,8 gradi. Questi valori sono significativamente più bassi di quelli presentati nella mesh con linee s1 e s2 uguali a costanti.

I domini parametrici (I,J) e (s1,s2) sono rappresentati nella Figura 3. In questo caso, la trasformazione intermedia è definita con NT=257. I benefici dell’introduzione della trasformazione delle coordinate intermedie sono ovvi: la mesh nel dominio (I,J) è una semplice mesh rettangolare, mentre la mesh nel dominio (s1,s2) sarebbe quasi impossibile da determinare direttamente con s1 e s2 come variabili dipendenti.

Eliche DTRC P4842

Il secondo esempio è un’elica marittima DTRC P4842. La geometria dell’elica è definita per un insieme di sezioni trasversali a raggio costante, (Koyama, 1993). Così, la superficie dell’elica è stata definita da 161 sezioni con 321 punti in ogni sezione, che sono stati utilizzati per definire spline cubiche bidimensionali, che permettono di ottenere le coordinate di qualsiasi punto della geometria. La coordinata s1 è determinata lungo la radice della pala e la coordinata s2 lungo il bordo d’uscita.

Fig. 1: mesh 65×17-nodi con s1 e s2 costanti per un’ala ellittica planare.

Fig. 2: mesh di 65×17 nodi ottenuta su un’ala ellittica planare per interpolazione transfinita con spostamento della singolarità sul bordo d’uscita.

Fig. 3: Domini parametrici (I,J) e (s1,s2) per la mesh ottenuta per interpolazione transfinita a 65×17 nodi in un’ala ellittica planare.

La mesh a 41×21 nodi ottenuta con le linee s1 e s2 uguali alla costante è rappresentata in Fig. 4. I valori di s1 e s2 sono stati scelti in modo da ottenere una distribuzione di tipo coseno nelle direzioni della corda e del raggio dell’elica, rispettivamente. In questo caso, non c’è una singolarità della maglia perché la punta della lama ha una corda finita. Tuttavia, questo tipo di maglia comporta anche grandi deviazioni dall’ortogonalità a causa della geometria della lama. In questo esempio, la deviazione massima è di 83,8 gradi e la deviazione media è di 32,9 gradi.

L’applicazione del metodo proposto per questa geometria è presentata nella figura 5. La singolarità della mesh è posta sul bordo di uscita e l’interpolazione è applicata separatamente sulle due facce della pala. La singolarità della maglia si trova nella sezione con un raggio uguale a 0,973 del raggio dell’elica. La mesh ha una distribuzione di punti di tipo coseno sui quattro confini del dominio e contiene anche 41×21 nodi.

Come nell’esempio precedente, le deviazioni dall’ortogonalità ottenute nella mesh generata per interpolazione transfinita nel piano (I,J) sono inferiori a quelle ottenute nella mesh con s1 e s2 costanti. In questo caso, la maglia presentata nella figura 5 ha una deviazione massima dall’ortogonalità di 55,8 gradi e una deviazione media di 25,6 gradi. Le maglie ottenute nei piani parametrici (I,J) e (s1,s2) sono simili a quelle rappresentate in Figura 3 per l’esempio precedente.

Scafo della petroliera KVLCC2

L’ultimo esempio di applicazione del presente metodo di generazione della maglia è lo scafo della petroliera KVLCC2, che è attualmente un test case di riferimento nel calcolo del flusso viscoso nelle navi, (Larsson et al, 2000).

L’uso di una definizione geometrica con quattro parti distinte implica l’introduzione di una matrice di connettività per definire le coordinate (s1,s2). In questo esempio la connettività è semplice, poiché le quattro parti che definiscono la superficie sono collegate secondo la direzione longitudinale. I dettagli della definizione di s1 e s2 dalle coordinate locali di ciascuna delle quattro parti della superficie sono spiegati in dettaglio in (Eça, 2003).

In questo caso, presentiamo le maglie ottenute per interpolazione transfinita per la prua e la poppa della nave. Entrambe le maglie contengono 121×41 nodi con distribuzioni equidistanti lungo i quattro confini del dominio discretizzato. La sezione principale (situata a centro nave) è uno dei confini dei due esempi presentati, ma l’altro confine I=const. delle regioni discretizzate non coincide con nessuno dei confini della definizione geometrica della superficie. Per la maglia della prua della nave, le deviazioni massime e medie dall’ortogonalità sono rispettivamente 29,5 gradi e 4,7 gradi. La mesh a poppa della nave ha una deviazione massima di 45,0 gradi e una deviazione media di 3,4 gradi.

Le mesh generate a prua e a poppa della petroliera KVLCC2 sono presentate nella figura 7. Le linee interne delle due mesh sono approssimativamente equidistanti, il che soddisfa le proprietà desiderate di una mesh equidistante nel dominio (I,J) che corrisponde a una mesh approssimativamente equidistante nel dominio fisico.

CONCLUSIONI

Questo articolo presenta una tecnica per la generazione di mesh strutturate in superficie che permette di specificare il dominio da discretizzare indipendentemente da come viene definita la superficie. Il metodo descritto si basa sull’introduzione di un’ulteriore trasformazione di coordinate che mette in relazione le coordinate parametriche che definiscono la superficie con un dominio parametrico regolare. Le coordinate di questo dominio regolare sono usate come variabili dipendenti di un metodo di generazione di mesh bidimensionale.

Fig. 4: mesh di 41×21 nodi con costante s1 e s2 nella pala dell’elica DTRC 4842.

Fig. 5: mesh di 41×21 nodi ottenuta sulla pala dell’elica DTRC 4842 per interpolazione transfinita con posizionamento di singolarità per il bordo d’uscita.

Fig. 6: definizione della geometria della petroliera KVLCC2.

Fig. 7: mesh di 121×41 nodi ottenute per interpolazione transfinita sulla superficie della petroliera KVLCC2.

Gli esempi presentati mostrano che la tecnica proposta è flessibile e robusta, anche quando il metodo di generazione della mesh bidimensionale è una semplice interpolazione transfinita. Tuttavia, il metodo proposto può essere utilizzato anche con tecniche di generazione di mesh più sofisticate senza alcuna alterazione.

Riconoscimenti

L’autore J. Baltazar ringrazia la Fundação para a Ciência e Tecnologia per la borsa di dottorato, rif. SFRH/BD/14334/2003 e a M. Gaspar per le sue correzioni in spagnolo.

REFERENZE

Abbott, I.H. e A.E.V. Doenhoff, Theory of Wing Sections, Dover Publications, New York, USA (1959).

Eça, L., Orthogonal Generation Systems, Handbook of Grid Generation di Thompson, Soni & Weatherill, CRC Press, USA (1999).

Eça, L., Recent Developments in Surface Grid Generation using GMS for the Surface Definition, IST Report D72-20, Instituto Superior Técnico, Lisboa, Portugal (2003).

Farin, G., Curves and Surfaces for Computer-Aided Geometric Design: A Practical Guide, Academic Press, 2a edición, Boston, USA (1990).

Khamayseh, A. y A. Kuprat, Surface Grid Generation Systems, Handbook of Grid Generation by Thompson, Soni & Weatherill, CRC Press, USA (1999).

Koyama, K., Comparative Calculations of Propellers by Surface Panel Method Workshop Organized by 20th Propulsor Committee, Papers of Ship Research Institute, Supplement No. 15, Tokio, Japón (1993).

Larsson, L., F. Stern y V. Bertram , A Workshop on Numerical Ship Hydrodynamics, Goteborg, Suecia (2000).

Pina, H., Métodos Numéricos, McGraw-Hill, Lisboa, Portogallo (1995).

Shaw, J.A., Hybrid Grids, Handbook of Grid Generation di Thompson, Soni & Weatherill, CRC Press, USA (1999).

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