Martingala

Essere uno spazio di probabilità definito da ( Ω , F , P ) { {displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}

{displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F},P)}

, dove Ω {displaystyle \Omega }

{\Omega}

è lo spazio campione (cioè l’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale); F {\displaystyle {\mathcal {F}}

\mathcal {F}

è la σ-algebra associata a Ω {\displaystyle \Omega }

\Omega

, e P {displaystyle P}

P

è la misura di probabilità.

Lasciate che F {displaystyle \mathbb {F} }

{displaystyle \mathbb {F} } }

sia una filtrazione di σ {displaystyle \sigma }

\sigma

-algebre: F 1 ⊂ F 2 ⊂ … ⊂ F T ⊆ F {\displaystyle {\mathcal {F}}}subset {\mathcal {F}}1}}subset {\mathcal {F}_{2} \ldots \subset {\mathcal {F}}_{T}\subseteq {\mathcal {F}}}

{displaystyle {\mathcal {F}}_{1}{subset {\mathcal {F}_{2}{subset \ldots \subset {\mathcal {F}_{T}{subseteq {\mathcal {F}}

. Sea { X ( t ) } = X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle \{X(t)\}=X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}

{\displaystyle \X(t)\}=X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}

una successione di variabili aleatorie che formano un processo estocástico.

Entonces, il processo estocástico { X ( t ) , t ≥ 0 }

{displaystyle \{X(t),t\geq 0\}}

{displaystyle \X(t),t\geq 0\}}

adattato alla filtrazione F {\displaystyle \mathbb {F} }

{\displaystyle \mathbb {F} }

riceve il nome di martingala si E ( X ( t ) | F s ) = X ( s ) {\displaystyle \mathbb {E} \sinistra(X(t)|{\mathcal {F}}}destra)=X(s)}

{displaystyle \mathbb {E}

dove E {displaystyle \mathbb {E} }

{displaystyle \mathbb {E} }

è l’aspettativa matematica, e dove F s {{displaystyle {\mathcal {F}}}}

{displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}
è qualsiasi sub-σ-filtraggio algebra F {{displaystyle {mathbb {F} }

{displaystyle {mathbb {F} }

.

Ovvero, un processo stocastico è una martingala se la sua aspettativa al tempo ‘t’, con t > s {displaystyle t>s}

{displaystyle ts}

a condizione che le informazioni noto sul processo in un precedente istante ‘s’ è quello dato da F s {{displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}

{displaystyle {\mathcal {F}_{s}}

, è precisamente il valore che la variabile casuale che definisce il processo ha preso in quell’istante ‘s’. In altre parole, un processo stocastico è una martingala quando la sua aspettativa nel tempo futuro è esattamente il valore che la variabile ha nel tempo presente. Questo significa che il processo non ha deriva statistica.

Quando lo stesso processo stocastico soddisfa che

E ( X ( t ) | F s ) ≥ X ( s ) {displaystyle \mathbb {E} \left(X ( X ( t ) | F s ) ≥ X ( s )}

{\displaystyle \mathbb {E} \

.

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