Médecine légale, Jurisprudence

12483 mots 50 pages

La théorie des ensembles est une division des mathématiques qui étudie les ensembles. La première étude formelle sur le sujet a été réalisée par le mathématicien allemand Georg Cantor, Gottlob Frege et Julius Wilhelm Richard Dedekind au 19ème siècle, puis reformulée par Zermelo.
Le concept d’ensemble est intuitif et pourrait être défini comme un « groupement bien défini d’objets non répétitifs et non ordonnés » ; ainsi, on peut parler d’un ensemble de personnes, de villes, de verres, de stylos ou de l’ensemble des objets sur une table à un moment donné. Un ensemble est bien défini si nous savons si un certain élément appartient ou non à l’ensemble. L’ensemble des stylos bleus est bien défini, car à la vue d’un stylo …voir plus…voir plus…
Dans les symboles:
Sous-ensembles et sur-ensembles
Diagramme de Venn montrant
Un ensemble est dit sous-ensemble d’un autre , si chaque élément de est aussi un élément de , c’est-à-dire lorsqu’il est vérifié:
,
quel que soit l’élément . Dans ce cas, on écrit .
Il faut noter que, par définition, il n’est pas exclu que si , alors . S’il possède au moins un élément qui n’appartient pas à l’ensemble , mais si chaque élément de est un élément de , alors on dit qu’il s’agit d’un sous-ensemble propre de , qui est représenté par . En d’autres termes, si et seulement si , et . Ainsi, l’ensemble vide est sous-ensemble propre de tout ensemble (sauf lui-même), et tout ensemble A est sous-ensemble impropre de lui-même.
Si c’est un sous-ensemble de , on dit aussi que c’est un sur-ensemble de , qui s’écrit . Donc
,
et aussi que :
,
ce qui signifie qu’il est sur-ensemble propre de .
Par le principe d’identité, il est toujours vrai , pour tout élément , donc tout ensemble est sous-ensemble (et aussi sur-ensemble) de lui-même.
On voit que c’est une relation d’ordre sur un ensemble d’ensembles, car | | ( elle est réflexive)| | | ( elle est antisymétrique)| | ( elle est transitive)|
Opérations avec des ensembles
Be et deux ensembles.
Union
Diagramme de Venn illustrant
Pour toute paire d’ensembles A et B, il existe un ensemble Union des deux, que l’on désigne par le terme
.

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